Resultados de teoría estadística#

Ley de los grandes números#

La ley débil de los grandes números establece que si \(X_1, X_2, X_3, \dots\) es una sucesión infinita de variables aleatorias independientes que tienen el mismo valor esperado \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\), entonces el promedio

\[\begin{equation*} \overline{X}_n = \frac{X_1+\cdots+X_n}{n} \end{equation*}\]

converge en probabilidad a \(\mu\). En otras palabras, para cualquier número positivo \(\epsilon\) se tiene

\[\begin{equation*} \lim _{n\rightarrow \infty } \Prob\left(\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|<\varepsilon \right)=1. \end{equation*}\]

Prueba (muy) informal: Note que:

  • \(\E[{\overline{X}}_n] = \mu\)

  • \(\Var[{\overline{X}}_n] = \frac{\sigma^2}{n} \to 0\) conforme \(n\to\infty\).

Convergencia en probabilidad#

Una secuencia \(\left\{X_n\right\}\) de variables aleatorias converge en probabilidad hacia la variable aleatoria \(X\) si para todo \(\epsilon>0\)

\[\begin{equation*} \lim\limits_{n\to\infty}\Pr\left(\left|X_n - X\right| > \epsilon\right) = 0 \end{equation*}\]

Para denotar que \(\left\{X_n\right\}\) converge en probabilidad hacia \(X\) escribimos

\[\begin{equation*} \PLIM{X_n}{X} \qquad\text{ o bien }\quad \plim X_n = X \end{equation*}\]

Propiedades de la convergencia en probabilidad#

Sean \(c\) una constante, \(g()\) una función continua, y \(X_n, Y_n\) dos secuencias de variables aleatorias. Entonces:

  • \(\plim c = c\)

  • \(\plim cX_n = c\plim X_n\)

  • \(\plim\left(X_n + Y_n\right) = \plim X_n + \plim Y_n\)

  • \(\plim\left(X_n Y_n\right) = \left(\plim X_n\right) \left(\plim Y_n\right)\)

  • \(\plim g(X_n) = g\left(\plim X_n\right)\)