7.4. Identificación#

El problema de identificación en ecuaciones simultáneas se refiere a cómo obtener los parámetros estructurales $\alert{B,\Gamma, \Sigma}$ a partir de los parámetros **reducidos $\alert{\Pi, \Omega}$.

\[\begin{equation*} \left.\begin{aligned} \Pi &= -B\Gamma^{-1} \\ \\ \Omega &=\left(\Gamma^{-1}\right)'\Sigma\Gamma^{-1} \end{aligned} \right\} \Rightarrow \left\{\begin{aligned} B &= ?\\ \Gamma &= ?\\ \Sigma &= ?\\ \end{aligned} \right. \end{equation*}\]

Warning

No es un problema de estimación, sino de resolución de un sistema de ecuaciones no lineales.

Considere la matriz $F\neq I$, y defina $\tilde{\Gamma} = \Gamma F$ y $\tilde{B} = B F$. Entonces

\[\begin{align*} Y\Gamma + XB &= E \tag{estructura verdadera} \\ Y\tilde{\Gamma} + X\tilde{B} &= \tilde{E} \tag{estructura falsa} \end{align*}\]

Pero ambas tienen la misma forma reducida!:

\[\begin{equation*} \begin{aligned} \tilde{\Pi} &= -\tilde{B}\tilde{\Gamma}^{-1} \\ &= - BFF^{-1}\Gamma^{-1} \\ &= -B\Gamma^{-1}\\ &= \Pi \end{aligned} \end{equation*}\]

Decimos que las estructuras son observacionalmente equivalentes.

Identificación: contando parámetros#

Para identificar los parámetros $\alert{B,\Gamma, \Sigma}$ a partir de $\alert{\Pi, \Omega}$ tenemos:

\[\begin{equation*} \notation{\tfrac{M}{2}(1+2K+3M)}{# de incógnitas} \;-\; \notation{\tfrac{M}{2}(1+2K+M)}{# de ecuaciones} = \notation{M^2}{exceso de parámetros} \end{equation*}\]

Identificación de la ecuación $j$#

Dado que tenemos más parámetros estructurales que reducidos, es necesario tener información no muestral:

normalizaciones
identidades
exclusiones
restricciones lineales
restricciones en varianza

Identificación via restricciones lineales por ecuación#

La forma estructural puede escribirse como ${\color{DarkGreen}A }{\color{FireBrick}z_t} = \epsilon_t$:

\[\begin{equation*} {\color{DarkGreen} \MAT{% \gamma_{11} & \dots & \gamma_{M1} & \beta_{11} & \dots & \beta_{K1} \\ \gamma_{12} & \dots & \gamma_{M2} & \beta_{12} & \dots & \beta_{K2} \\ & & &\vdots & & \\ \gamma_{1M} & \dots & \gamma_{MM} & \beta_{1M} & \dots & \beta_{KM} }} {\color{FireBrick} \MAT{% y_{t1} \\ \vdots \\ y_{tM} \\ x_{t1} \\ \vdots \\ x_{tK} }} = \MAT{% \epsilon_{t1} \\ \epsilon_{t2} \\ \vdots \\ \epsilon_{tM} } \end{equation*}\]

Algunos de los parámetros de la fila $j$:

\[\begin{equation*} \MAT{\gamma_{1j} & \dots & \gamma_{Mj} & \beta_{1j} & \dots & \beta_{Kj} } \end{equation*}\]

están restringidos porque:

una variable endógena está normalizada, ej: $\gamma_{jj}=1$
alguna variable está excluida, ej: $\gamma_{3j} = 0$ o bien $\beta_{2j} = 0$
dos variables tienen el mismo coeficiente, ej: $\beta_{2j} = \beta_{3j}$

Restricción de normalización#

La más sencilla de las restricciones es la normalización: en cada ecuación, el parámetro de una variable (usualmente endógena) es uno.

Ejemplos:

Restricción de exclusión#

La exclusión se refiere a que alguna variable del modelo no aparece en cierta ecuación (es decir, su coeficiente es cero en esa ecuación).

Ejemplos:

Restricción de combinación lineal de parámetros#

En este caso, una \alert{combinación lineal de parámetros} es conocida. El caso más sencillo es cuando dos parámetros son iguales.

Ejemplo:

La condición de rango#

Sea $\tilde{A}_j$ la matriz formada por aquellas columnas de $A$ en las que la ecuación $j$ tiene restricciones.

La condición de orden#

Note que para que se cumpla la condición de rango, es necesario que $\tilde{A}_j$ tenga al menos $M$ columnas.

Clasificación de ecuaciones#

Tipo de ecuación	Condición de orden	Condición de rango
Sobre-identificada	Se cumple con desigualdad	Se cumple
Exactamente identificada	Se cumple con igualdad	Se cumple
Sub-identificada	No se cumple	Puede no cumplirse

Se dice que está identificada sólo si está “sobre-identificada” o “exactamente-identificada”

Tip

Solo las ecuaciones identificadas pueden ser estimadas

Ejemplo: Identificación en el modelo de oferta y la demanda

En un ejemplo anterior encontramos esta forma estructural para el modelo de oferta y demanda

\[\begin{equation*} \notation{\MAT{q_t & p_t}}{$y'_t$} \notation{\MAT{1 & 1 \\ -\alpha_1 & -\beta_1} }{$\Gamma$} + \notation{\MAT{1 & x_t}}{$x'_t$} \notation{\MAT{-\alpha_0 & -\beta_0 \\ -\alpha_2 & 0}}{$B$} = \notation{\MAT{\epsilon_t^d & \epsilon_t^s}}{$\epsilon'_t$} \end{equation*}\]

que puede escribirse también como

\[\begin{equation*} \alert{Az_t =} \MAT{ \notation{\begin{matrix} 1 & -\alpha_1 \\ 1 & -\beta_1 \end{matrix}}{$\Gamma'$} & \color{orange} \Bigg|\Bigg. & \notation{\begin{matrix} -\alpha_0 & -\alpha_2 \\ -\beta_0 & 0 \end{matrix}}{$B'$} } \notation{\MAT{q_t \\ p_t \\ 1 \\ x_t} }{$z_t$} = \notation{\MAT{\epsilon^d_t \\ \epsilon^s_t}}{$\epsilon_t$} \end{equation*}\]

Entonces

\[\begin{equation*} \tilde{A}_1 = \MAT{1 \\ 1} \qquad \tilde{A}_2 = \MAT{1 & -\alpha_2\\1 & 0} \end{equation*}\]

Demanda: $\tilde{A}_1 = \MAT{1 \\ 1}$ no cumple condición de orden, por lo tanto es no-identificada.
Oferta: $\tilde{A}_2 = \MAT{1 & -\alpha_2\\1 & 0}$ cumple condición de rango si y solo si $\alpha_2\neq 0$.

En conclusión, podemos estimar la oferta siempre y cuando la demanda efectivamente dependa de $x_t$. La demanda no puede ser estimada.

Ejemplo: Identificación de un modelo de demanda agregada

En este otro ejemplo encontramos esta forma estructural para el modelo de oferta y demanda

\[\begin{equation*} \alert{Az_t =} \MAT{ \notation{\begin{matrix} 1 & 0 & -\alpha_1 \\ 0 & 1 & -\beta_1 \\ -1 & -1 & 1\end{matrix}}{$\Gamma'$} & \color{orange} \Bigg|\Bigg. & \notation{\begin{matrix} -\alpha_0 & 0 & 0\\ -\beta_0 &\beta_1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix}}{$B'$} } \notation{\MAT{C_t \\ I_t \\ Y_t \\ 1 \\ Y_{t-1} \\ G_t} }{$z_t$} = \notation{\MAT{\epsilon_{1t} \\ \epsilon_{2t} \\ 0}}{$\epsilon_t$} \end{equation*}\]

En este caso las matrices de restricciones de las ecuaciones 1 y 2 son idénticas:

\[\begin{equation*} \tilde{A}_1 = \tilde{A}_2 = \MAT{% 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & \beta_1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & -1 } \end{equation*}\]

Ecuación de consumo

Tenemos que

$\text{rango}\left[\tilde{A}_1\right] = 3 \quad\Rightarrow$ identificada.
$\tilde{A}_1$ tiene 4 columnas pero 3 filas $\Rightarrow$ sobre-identificada.

Ecuación de inversión

Dado que $\tilde{A}_2 = \tilde{A}_1$, sabemos que esta ecuación también está sobre-identificada.

Ecuación de ingreso

Es una identidad $\Rightarrow$ no hay nada que estimar.

Apuntes de Macroeconometría

Identificación

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