\[ \begin{align}\begin{aligned}\require{color}
\newcommand{\alert}[1]{{\color{RedOrange} #1}}
\newcommand{\notation}[2]{\underset{\color{MidnightBlue}\text{#2}}{#1}}
\newcommand{\simbolo}[2]{\underset{\color{MidnightBlue}#2}{#1}}
\newcommand{\notationbrace}[2]{{\underbrace{#1}_{\color{MidnightBlue}\text{#2}}}}
\DeclareMathOperator{\dd}{\,d\!}
\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}{}}
\DeclareMathOperator{\Var}{Var{}}
\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov{}}
\DeclareMathOperator{\Lag}{L{}}
\DeclareMathOperator*{\argmin}{argmin}
\DeclareMathOperator*{\argmax}{argmax}
\DeclareMathOperator{\Prob}{\mathbb{P}}
\newcommand{\marginal}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\MAT}[1]{\begin{bmatrix} #1 \end{bmatrix}}
\newcommand{\mat}[1]{\left[\begin{smallmatrix} #1 \end{smallmatrix}\right]}\\\begin{split}\DeclareMathOperator{\R}{\mathbb{R}}
\DeclareMathOperator{\X}{\mathbf{x}}
\DeclareMathOperator{\y}{\mathbf{y}}
\DeclareMathOperator{\h}{\mathbf{h}}
\newcommand{\stackEq}[1]{\MAT{#1_1 \\ #1_2 \\ \vdots \\ #1_M}}
\newcommand{\e}{\mathbf{\epsilon}}
\newcommand{\Y}{\mathbf{Y}}
\newcommand{\estimator}[2]{{\hat{#1}^{\text{#2}}}}
\newcommand{\estimate}[2]{\underset{(#2)}{#1}}
\DeclareMathOperator{\plim}{plim}
\newcommand{\PLIM}[2]{#1\xrightarrow{p} #2}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]
2.4. Solución por medio del operador de rezagos
Introducción
Este tema constituye una herramienta para simplificar el análisis de ecuaciones en diferencia
Se asumirá que todas las variables son determinísticas (no estocásticas).
Se limita la exposición a ecuaciones en diferencia lineales.
Ecuación en diferencia de primer orden
En este caso
\[\begin{equation*}
y_t = \phi y_{t-1} + w_t
\end{equation*}\]
Utilizando el operador de rezagos se resuelve así:
\[\begin{align*}
y_t &= \phi\Lag y_{t} + w_t \\
(1 - \phi\Lag)y_t &= w_t \\
\left(1 + \phi \Lag +\dots + \phi^t \Lag^t\right)(1 - \phi\Lag)y_t &= \left(1 + \phi \Lag +\dots + \phi^t \Lag^t\right)w_t \\
\left(1 - \phi^{t+1} \Lag^{t+1}\right)y_t &= w_{t} + \phi w_{t-1} +\dots + \phi^t w_{0}
\end{align*}\]
Así
\[\begin{equation*}
y_t = \phi^{t+1} y_{-1} + w_{t} + \phi w_{t-1} +\dots + \phi^t w_{0}
\end{equation*}\]
Solución de “largo plazo”
En este caso
\[\begin{align*}
(1 - \phi\Lag)y_t &= w_t \\
\left(1 - \phi \Lag\right)^{-1}(1 - \phi\Lag)y_t &= \left(1 + \phi \Lag + \phi^2 \Lag^2 + \dots\right)w_t \\
y_t &= w_{t} + \phi w_{t-1} + \phi^2 w_{t-2} + \dots
\end{align*}\]
siempre y cuando \(|\phi|< 1\).
Ecuación en diferencia de orden \(p\)
La variable \(y_t\) evoluciona como
\[\begin{equation*}
y_{t} = \phi_1y_{t-1} + \phi_2y_{t-2} + \dots + \phi_py_{t-p} + w_t
\end{equation*}\]
Con operador de rezagos:
\[\begin{equation*}
\left(1 - \phi_1 \Lag - \phi_2 \Lag^2 - \dots - \phi_p \Lag^p\right)y_t = w_t
\end{equation*}\]
Para factorizar el polinomio es necesario resolver
\[\begin{equation*}
f(z) \equiv 1 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 - \dots - \phi_p z^p = 0
\end{equation*}\]
Con el cambio de variable \(z=\frac{1}{\lambda}\) obtenemos
\[\begin{align*}
1 - \phi_1 \left(\tfrac{1}{\lambda}\right) - \phi_2 \left(\tfrac{1}{\lambda}\right)^2 - \dots - \phi_p \left(\tfrac{1}{\lambda}\right)^p &= 0 \\
\lambda^p - \phi_1\lambda^{p-1} - \phi_2\lambda^{p-2} - \dots - \phi_{p-1}\lambda - \phi_p &= 0
\end{align*}\]
Esta es la misma expresión que se obtuvo con álgebra de matrices: por lo tanto las raíces de \(f(z)\) son los recíprocos de las raíces anteriores.
Estabilidad
Dada la relación existente entre las ecuaciones
\[\begin{align*}
1 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 - \dots - \phi_p z^p &= 0 \\
\lambda^p - \phi_1\lambda^{p-1} - \phi_2\lambda^{p-2} - \dots - - \phi_{p-1}\lambda - \phi_p &= 0
\end{align*}\]
está claro que para que el proceso sea estable es necesario que las raíces de
\[\begin{equation*}
1 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 - \dots - \phi_p z^p = 0
\end{equation*}\]
estén fuera del círculo unitario, esto es, si \(z_i\) es raíz, entonces \(|z_i|>1\).
