El modelo SUR
Contents
\[ \begin{align}\begin{aligned}\require{color}
\newcommand{\alert}[1]{{\color{RedOrange} #1}}
\newcommand{\notation}[2]{\underset{\color{MidnightBlue}\text{#2}}{#1}}
\newcommand{\simbolo}[2]{\underset{\color{MidnightBlue}#2}{#1}}
\newcommand{\notationbrace}[2]{{\underbrace{#1}_{\color{MidnightBlue}\text{#2}}}}
\DeclareMathOperator{\dd}{\,d\!}
\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}{}}
\DeclareMathOperator{\Var}{Var{}}
\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov{}}
\DeclareMathOperator{\Lag}{L{}}
\DeclareMathOperator*{\argmin}{argmin}
\DeclareMathOperator*{\argmax}{argmax}
\DeclareMathOperator{\Prob}{\mathbb{P}}
\newcommand{\marginal}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\MAT}[1]{\begin{bmatrix} #1 \end{bmatrix}}
\newcommand{\mat}[1]{\left[\begin{smallmatrix} #1 \end{smallmatrix}\right]}\\\begin{split}\DeclareMathOperator{\R}{\mathbb{R}}
\DeclareMathOperator{\X}{\mathbf{x}}
\DeclareMathOperator{\y}{\mathbf{y}}
\DeclareMathOperator{\h}{\mathbf{h}}
\newcommand{\stackEq}[1]{\MAT{#1_1 \\ #1_2 \\ \vdots \\ #1_M}}
\newcommand{\e}{\mathbf{\epsilon}}
\newcommand{\Y}{\mathbf{Y}}
\newcommand{\estimator}[2]{{\hat{#1}^{\text{#2}}}}
\newcommand{\estimate}[2]{\underset{(#2)}{#1}}
\DeclareMathOperator{\plim}{plim}
\newcommand{\PLIM}[2]{#1\xrightarrow{p} #2}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]
7.2. El modelo SUR#
Basado en \textcite[capítulo 10]{Greene:2012}
Introducción#
Hay modelos uniecuacionales que aplican a un grupo de variables relacionadas.
Ejemplos:
Como los errores \(\epsilon_{it}\) de las distintas ecuaciones pueden estar correlacionados, es preferible considerar los modelos de manera conjunta.
Modelo de regresiones aparentemente no relacionadas (SUR)#
En este modelo se presentan un grupo de variables dependientes, pero NO simultáneas.
Cada ecuación puede tener sus propias variables explicativas o éstas pueden ser las mismas para todas las ecuaciones.
Las ecuaciones del sistema son
\[\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
\y_1 &= \X_1\beta_1 + \e_1 \\
\y_2 &= \X_2\beta_2 + \e_2 \\
&\qquad\vdots \\
\y_M &= \X_M\beta_M + \e_M
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}\]
que se pueden expresar como
\[\begin{equation*}
\simbolo{\stackEq{\y}}{\Y} =
\simbolo{\MAT{\X_1 & 0 & \dots & 0 \\
0 & \X_2 & \dots & 0 \\
& & \ddots \\
0 & 0 & \dots & \X_M} }{\X}
\simbolo{\stackEq{\beta}}{\beta} +
\simbolo{\stackEq{\e}}{\e}
\end{equation*}\]
El modelo SUR: errores correlacionados#
Se asume que perturbaciones de distintas observaciones no están correlacionadas, aunque las perturbaciones de distintas ecuaciones sí pueden estar correlacionados:
\[\begin{equation*}
\E\left[\e_i\e'_j | \X \right] = \sigma_{ij}I
\end{equation*}\]
o bien
\[\begin{equation*}
\simbolo{\E\left[\e \e' | \X\right]}{\Omega} =
\simbolo{\MAT{\sigma_{11}I & \sigma_{12}I & \dots & \sigma_{1M}I \\
\sigma_{21}I & \sigma_{22}I & \dots & \sigma_{2M}I \\
& & \ddots \\
\sigma_{M1}I & \sigma_{M2}I & \dots & \sigma_{MM}I} }{\Sigma \otimes I}
\end{equation*}\]
Estimación de un modelo SUR#
El modelo SUR
\[\begin{equation*}
\left.
\begin{aligned}
\Y&= \X\beta + \e \\
\E\left[\e | \X \right] &=0 \\
\Var\left[\e | \X \right] &=\Omega = \Sigma \otimes I
\end{aligned}
\right\}
\alert{\text{supuestos del modelo generalizado de regresión lineal!}}
\end{equation*}\]
puede ser estimado por FGLS:
\[\begin{align*}
\estimator{\beta}{GLS} &= \left[\X'\Omega^{-1}\X\right]^{-1}\X'\Omega^{-1}\Y \\
&= \left[\X'(\Sigma \otimes I)^{-1}\X\right]^{-1}\X'(\Sigma \otimes I)^{-1}\Y
\end{align*}\]
Caso especial del modelo SUR#
Si todas las regresiones tienen los mismos regresores, estimar el sistema SUR por GLS es equivalente a estimar ecuación por ecuación con OLS.
En el caso especial \(\X_1 =\dots = \X_M = \mathbb{X}\) tenemos
\[\begin{equation*}
\X =
\MAT{\X_1 & 0 & \dots & 0 \\
0 & \X_2 & \dots & 0 \\
& & \ddots \\
0 & 0 & \dots & \X_M}
=
\MAT{\mathbb{X} & 0 & \dots & 0 \\
0 & \mathbb{X} & \dots & 0 \\
& & \ddots \\
0 & 0 & \dots & \mathbb{X}}
= I \otimes \mathbb{X}
\end{equation*}\]
y el estimador GLS es
\[\begin{align*}
\estimator{\beta}{GLS} &=\left[\X'(\Sigma \otimes I)^{-1}\X\right]^{-1}\X'(\Sigma \otimes I)^{-1}\Y \\
&= \left[(I \otimes \mathbb{X})'(\Sigma \otimes I)^{-1}(I \otimes \mathbb{X})\right]^{-1}(I \otimes \mathbb{X})'(\Sigma \otimes I)^{-1}\Y \\
&= \left[(I \otimes \mathbb{X}')(\Sigma^{-1} \otimes I)(I \otimes \mathbb{X})\right]^{-1}(I \otimes \mathbb{X}')(\Sigma^{-1} \otimes I)\Y \\
&= \left[\Sigma^{-1} \otimes (\mathbb{X'X})\right]^{-1}\left[\Sigma^{-1} \otimes \mathbb{X}'\right]\Y \\
&= \left[\Sigma \otimes (\mathbb{X'X})^{-1}\right]\left[\Sigma^{-1} \otimes \mathbb{X}'\right]\Y \\
&= \left[I \otimes (\mathbb{X'X})^{-1}\mathbb{X}'\right]\Y \\
&= \left[I \otimes (\mathbb{X'X})^{-1}\mathbb{X}'\right]\Y \\
&= \MAT{(\mathbb{X'X})^{-1}\mathbb{X}' & 0 & \dots & 0 \\
0 & (\mathbb{X'X})^{-1}\mathbb{X}' & \dots & 0 \\
& & \ddots \\
0 & 0 & \dots & (\mathbb{X'X})^{-1}\mathbb{X}'} \stackEq{\y} \\
&= \stackEq{(\mathbb{X'X})^{-1}\mathbb{X}'\y} = \stackEq{\estimator{\beta}{OLS}}
\end{align*}\]
#
\[\begin{align*}
\estimator{\beta}{GLS}
&= \left[I \otimes (\mathbb{X'X})^{-1}\mathbb{X}'\right]\Y \\
&= \MAT{(\mathbb{X'X})^{-1}\mathbb{X}' & 0 & \dots & 0 \\
0 & (\mathbb{X'X})^{-1}\mathbb{X}' & \dots & 0 \\
& & \ddots \\
0 & 0 & \dots & (\mathbb{X'X})^{-1}\mathbb{X}'} \stackEq{\y} \\
&= \stackEq{(\mathbb{X'X})^{-1}\mathbb{X}'\y} = \stackEq{\estimator{\beta}{OLS}}
\end{align*}\]
Tip
Este resultado justifica que un VAR sin restricciones se estima ecuación por ecuación con OLS.