Números complejos#

\[ \begin{align}\begin{aligned}\require{color} \newcommand{\alert}[1]{{\color{RedOrange} #1}} \newcommand{\notation}[2]{\underset{\color{MidnightBlue}\text{#2}}{#1}} \newcommand{\simbolo}[2]{\underset{\color{MidnightBlue}#2}{#1}} \newcommand{\notationbrace}[2]{{\underbrace{#1}_{\color{MidnightBlue}\text{#2}}}} \DeclareMathOperator{\dd}{\,d\!} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}{}} \DeclareMathOperator{\Var}{Var{}} \DeclareMathOperator{\Cov}{Cov{}} \DeclareMathOperator{\Lag}{L{}} \DeclareMathOperator*{\argmin}{argmin} \DeclareMathOperator*{\argmax}{argmax} \DeclareMathOperator{\Prob}{\mathbb{P}} \newcommand{\marginal}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\MAT}[1]{\begin{bmatrix} #1 \end{bmatrix}} \newcommand{\mat}[1]{\left[\begin{smallmatrix} #1 \end{smallmatrix}\right]}\\\begin{split}\DeclareMathOperator{\R}{\mathbb{R}} \DeclareMathOperator{\X}{\mathbf{x}} \DeclareMathOperator{\y}{\mathbf{y}} \DeclareMathOperator{\h}{\mathbf{h}} \newcommand{\stackEq}[1]{\MAT{#1_1 \\ #1_2 \\ \vdots \\ #1_M}} \newcommand{\e}{\mathbf{\epsilon}} \newcommand{\Y}{\mathbf{Y}} \newcommand{\estimator}[2]{{\hat{#1}^{\text{#2}}}} \newcommand{\estimate}[2]{\underset{(#2)}{#1}} \DeclareMathOperator{\plim}{plim} \newcommand{\PLIM}[2]{#1\xrightarrow{p} #2}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]
import plotly.express as px
import numpy as np

import plotly.io as pio
pio.renderers.default = "colab" if 'google.colab' in str(get_ipython()) else 'iframe'

Representación de números complejos#

Multiplicación de números complejos#

Si \( z = Re^{i\theta} \) y \( w = Se^{i\varphi} \) , entonces su producto es

\[\begin{equation*} zw = RS e^{i(\theta+\varphi)} \end{equation*}\]

Así, si elevamos \( z \) a la \( n \) -ésima potencia:

\[\begin{equation*} z^n = \left(Re^{i\theta}\right)^n = R^ne^{in\theta} \end{equation*}\]

Es decir

\[\begin{equation*} \lim\limits_{n\to\infty}z^n = 0 \Leftrightarrow | R | < 1 \end{equation*}\]

Ejemplos de potencia de números complejos#

Cuando el módulo o valor absoluto \( R \) de un número complejo está por debajo de 1, su potencia tiende a cero conforme el exponente tiende a infinito:

𝜃 = 30
t = np.arange(48)

px.scatter_polar(r=0.95**t, theta=t*𝜃,
                 animation_frame=t,
                 start_angle=0,
                 range_r=[0, 1.1],
                 direction='counterclockwise')

Por el contrario, si \( R > 1 \) , la potencia tenderá alejarse cada vez más del origen:

px.scatter_polar(r=1.03**t, theta=t*𝜃,
                 animation_frame=t,
                 start_angle=0,
                 range_r=[0, 4.5],
                 direction='counterclockwise')

En el caso intermedio en que \( R = 1 \) , la potencia se mantendrá orbitando en la circunferencia unitaria:

px.scatter_polar(r=1.0**t, theta=t*𝜃,
                 animation_frame=t,
                 start_angle=0,
                 range_r=[0, 1.5],
                 direction='counterclockwise')