\[\begin{equation*}
\notation{\tfrac{M}{2}(1+2K+M)}{# de incógnitas} \;-\;
\notation{\tfrac{M}{2}(1+2K+M)}{# de ecuaciones} =
\notation{0}{exceso de parámetros}
\end{equation*}\]
Ejemplo:
Identificación de un SVAR(1)
Considere el modelo
\[\begin{align*}
x_t &= \phi y_t + \beta_{11}x_{t-1} + \beta_{21}y_{t-1} + \epsilon_{1t}\\
y_t &= \gamma x_t + \beta_{12}x_{t-1} + \beta_{22}y_{t-1} + \epsilon_{2t}
\end{align*}\]
o bien, en forma matricial
\[\begin{equation*}
\notation{\MAT{1 & -\phi \\ -\gamma & 1}}{$\Gamma'$} \MAT{x_t \\ y_t} =
\notation{\MAT{\beta_{11} & \beta_{21} \\ \beta_{12} & \beta_{22}}}{$-B'$} \MAT{x_{t-1} \\ y_{t-1}} +
\MAT{\epsilon_{1t} \\ \epsilon_{2t}}
\end{equation*}\]
Hay 2 ecuaciones pero cada una tiene únicamente una restricción (la normalización), por lo que la condición de orden no se cumple \(\Rightarrow\) ninguna ecuación está identificada.
Para poder estimar este modelo, sería necesario añadir nuevas restricciones.
Suponga que estamos dispuestos a asumir que \(x_t\) no responde a \(y_t\) contemporáneamente, es decir \(\phi=0\). Entonces, la forma reducida del modelo sería
\[\begin{equation*}
\MAT{x_t \\ y_t} =
\MAT{\notation{\beta_{11}}{$\pi_{11}$} & \notation{\beta_{21}}{$\pi_{21}$} \\
\notation{\beta_{12}+\gamma\beta_{11}}{$\pi_{12}$} & \notation{\beta_{22}+\gamma\beta_{21}}{$\pi_{22}$}}
\MAT{x_{t-1} \\ y_{t-1}} +
\MAT{\epsilon_{1t} \\ \epsilon_{2t} + \gamma\epsilon_{1t}}
\end{equation*}\]
Entonces, si lográramos identificar \(\gamma\) los demás parámetros estructurales serían:
\[\begin{align*}
\beta_{11} &=\pi_{11} & \beta_{21} &=\pi_{21} \\
\beta_{12} &=\pi_{12} - \gamma\pi_{11} & \beta_{22} &=\pi_{22} - \gamma\pi_{21}
\end{align*}\]
Suponga además que estamos dispuestos a asumir que los errores no están correlacionados:
\[\begin{equation*}
\Var[\epsilon_t] = \notation{\MAT{\sigma^2_1 & 0\\ 0 &\sigma^2_2}}{$\Sigma$}
\end{equation*}\]
\[\begin{align*}
\Omega \equiv \MAT{\sigma^2_x & \sigma_{xy}\\ \sigma_{xy} & \sigma^2_y} &=
\notation{\MAT{1 & 0 \\ \gamma & 1}}{${\Gamma'}^{-1}$}
\notation{\MAT{\sigma^2_1 & 0\\ 0 &\sigma^2_2}}{$\Sigma$}
\notation{\MAT{1 & \gamma \\ 0 & 1}}{$\Gamma^{-1}$}\\
&= \MAT{\sigma^2_1 & \gamma\sigma^2_1\quad \\ \gamma\sigma^2_1 & \quad\gamma^2\sigma^2_1 + \sigma^2_2}
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
\sigma^2_1 &=\sigma^2_x &
\gamma &= \frac{\sigma_{xy}}{\sigma^2_x} &
\sigma^2_2 &=\sigma^2_y-\gamma^2\sigma^2_x
\end{align*}\]
Antes de continuar, observe que
\[\begin{align*}
\Omega \equiv \MAT{\sigma^2_x & \sigma_{xy}\\ \sigma_{xy} & \sigma^2_y} &=
\notation{\MAT{1 & 0 \\ \gamma & 1}}{${\Gamma'}^{-1}$}
\notation{\MAT{\sigma^2_1 & 0\\ 0 &\sigma^2_2}}{$\Sigma$}
\notation{\MAT{1 & \gamma \\ 0 & 1}}{$\Gamma^{-1}$}\\
&= \notation{\MAT{\sigma_1 & 0 \\ \gamma\sigma_1 & \sigma_2}}{$L$}
\notation{\MAT{\sigma_1 & \gamma\sigma_1 \\ 0 & \sigma_2}}{$L'$}
\end{align*}\]
Es decir, hemos descompuesto \(\Omega\) como el producto de una matriz triangular inferior y su transpuesta:
\[\begin{equation*}
\Omega = LL'
\end{equation*}\]
Esta es la descomposición de Choleski. Toda matriz simétrica semi-definida positiva puede ser descompuesta así.
La diagonal de \(L\) identifica las desviaciones estándar de los errores estructurales.
