1.2. Representación gráfica de series de tiempo#

Nivel de la serie#

Antes de modelar una serie de tiempo, es útil representarla con un gráfico para detectar algunas de sus propiedades.

En este caso: el PIB

muestra una tendencia positiva
tiene variaciones estacionarias

En lo que sigue, nos referimos a esta serie en nivel como \(y_t\).

def figura(datos, titulo, y):
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,5))
    ax = datos.plot(ax=ax, legend=None)
    ax.set(title=titulo, xlabel=" ", ylabel=y)
    return fig

pib = SW(PIB=33438)
pib /=1e6

figura(pib,
       'Producto Interno Bruto de Costa Rica',
       'billones de colones constantes');

Primera diferencia de la serie#

\[\begin{equation*} \Delta y_t \equiv y_t - y_{t-1} \end{equation*}\]

Esta transformación

elimina la tendencia de la serie,
mantiene las oscilaciones estacionales.

figura(pib.diff(1),
       'Cambio trimestral en el PIB de Costa Rica',
       'billones de colones constantes');

Tasa de crecimiento de la serie#

\[\begin{equation*} \Delta\% y_t \equiv \frac{y_t - y_{t-1}}{y_{t-1}} \times 100 \end{equation*}\]

Elimina tendencia, mantiene estacionalidad.
Limitación: asimetría con respecto a cambios positivos y negativos: Subir de 100 a 125 (aumento de 25%), bajar de 125 a 100 (caída de “solo” 20%).

figura(100*pib.pct_change(1),
       'Tasa de crecimiento trimestral del PIB de Costa Rica',
       'por ciento');

Tasa “continua” de crecimiento de la serie#

\[\begin{equation*} \Delta\% y_t \approx \left(\ln y_t - \ln y_{t-1}\right)\times 100 \end{equation*}\]

Similar a la anterior porque \(\ln(1+x)\approx x\) si \(x\) es “pequeño”
Ventaja: simetría con respecto a cambios positivos y negativos

figura(100*np.log(pib).diff(),
       'Tasa de crecimiento trimestral del PIB de Costa Rica',
       'por ciento');

Diferencia interanual de la serie#

\[\begin{equation*} \Delta_4 y_t \equiv y_t - y_{t-4} \end{equation*}\]

Elimina tanto la tendencia como el componente estacional
Nótese la fuerte disminución del PIB durante la crisis de 2008.

figura(pib.diff(4),
       'Cambio interanual en el PIB de Costa Rica',
       'billones de colones constantes');

Tasa de crecimiento interanual#

\[\begin{equation*} \Delta_4\% y_t \approx \left(\ln y_t - \ln y_{t-4}\right)\times 100 \end{equation*}\]

Equivalente a la suma de las tasas de crecimiento de los cuatro trimestres comprendidos en el año:

\[\begin{align*} \Delta_4\% y_t &\approx \left(\ln y_t - \ln y_{t-4}\right)\times 100 \\ &= \left(\ln y_{t} - \ln y_{t-1} + \ln y_{t-1} - \ln y_{t-2} + \ln y_{t-2} - \ln y_{t-3} + \ln y_{t-3} - \ln y_{t-4}\right)\times 100 \\ &= \Delta\% y_{t} + \Delta\% y_{t-1} + \Delta\% y_{t-2} + \Delta\% y_{t-3} \end{align*}\]

figura(100*np.log(pib).diff(4),
       'Tasa de crecimiento interanual del PIB de Costa Rica',
       'por ciento');

Serie suavizada por media móvil#

\[\begin{equation*} y^s_t \equiv \tfrac{1}{4}\left(y_t + y_{t-1} + y_{t-2} + y_{t-3}\right) \end{equation*}\]

Elimina el componente estacional, pero manteniendo la tendencia
Se observa un cambio estructural en 2008-2009.

pib2 = pd.concat([pib, pib.rolling(4).mean()], axis=1)
pib2.columns = ['Serie original', 'Serie suavizada']

figura(pib2,
    'Producto Interno Bruto de Costa Rica',
    'billones de colones constantes');

Ejemplo: Transformación de datos

Las transformaciones ilustradas en las figuras pueden ser calculadas con Stata y con Python:

Operacion	Stata	Python
Serie original	pib	pib
Primera diferencia	D.pib	pib.diff()
Tasa de crecimiento	D.pib / L.pib	pib.pct_change(1)
Tasa de variación continua	gen l=log(pib)	np.log(pib).diff()
	D.lpib
Diferencia interanual	S4.pib	pib.diff(4)
Tasa de crecimiento interanual	S4.lpib	np.log(pib).diff(4)
Suavizada por media móvil	tssmooth ma y = pib, window(3 1 0)	pib.rolling(4).mean()

Apuntes de Macroeconometría

Representación gráfica de series de tiempo

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