\[ \begin{align}\begin{aligned}\require{color}
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2.2. Solución por sustituciones recursivas
Solución de la ecuación de primer orden
Dado un valor inicial \(y_{-1}\) y la secuencia
\[\begin{equation*}
\left\{w_0, w_1, \dots, w_t\right\}
\end{equation*}\]
la ecuación puede resolverse de manera recursiva como:
\[\begin{equation*}
y_t = \phi^{t+1}y_{-1} + \phi^{t}w_{0} + \phi^{t-1}w_{1} + \dots +\phi w_{t-1} + w_{t}
\end{equation*}\]
Multiplicador dinámico: shock transitorio
La solución es similar si se desea expresar \(y_{t+j}\) a partir de \(y_t\)
\[\begin{equation*}
y_{t+j} = \phi^{j+1}y_{t-1} + \phi^{j}w_{t} + \phi^{j-1}w_{t+1} + \dots +\phi w_{t+j-1} + w_{t+j}
\end{equation*}\]
El multiplicador dinámico se obtiene simplemente como:
\[\begin{equation*}
\marginal{y_{t+j}}{w_t} = \phi^j
\end{equation*}\]
El proceso es estable si y sólo si \(|\phi| < 1\).
Valor presente
Sea \(\beta\) el factor de descuento. Se define el valor presente:
\[\begin{equation*}
\text{VP} = \sum_{j=0}^{\infty}\beta^j y_{t+j}
\end{equation*}\]
¿Cuál es el efecto de un cambio en \(w_t\) sobre el VP de \(y\)?
\[\begin{equation*}
\marginal{\text{VP}}{w_t} = \sum_{j=0}^{\infty}\beta^j \marginal{y_{t+j}}{w_t} = \sum_{j=0}^{\infty}\beta^j \phi^j = \frac{1}{1-\beta\phi}
\end{equation*}\]
siempre y cuando \(|\beta\phi| < 1\).
Efecto de un shock permanente
Supóngase que el cambio en \(w_t\) es permanente.
¿Qué efecto tiene sobre \(y\) en el largo plazo?
\[\begin{equation*}
\lim\limits_{j\to\infty}\sum_{k=0}^{j} \marginal{y_{t+j}}{w_{t+k}} = \lim\limits_{j\to\infty}\sum_{k=0}^{j}\phi^{j-k} = \frac{1}{1-\phi}
\end{equation*}\]
siempre y cuando \(|\phi| < 1\).
Efecto acumulado de un shock transitorio
Se desea la suma de los cambios en \(y\) como consecuencia de un único cambio en \(w_t\). * Esto corresponde al ejemplo del VP cuando \(\beta=1\):
\[\begin{equation*}
\text{EA} = \sum_{j=0}^{\infty}1^j \marginal{y_{t+j}}{w_t} = \sum_{j=0}^{\infty} \phi^j = \frac{1}{1-\phi}, \qquad |\phi|<1.
\end{equation*}\]
Nótese que el efecto acumulado de un shock transitorio es igual al efecto de un shock permanente en el largo plazo.
Ecuación en diferencia de orden \(p\)
La variable \(y_t\) evoluciona como un ecuación en diferencia de primer orden cuando depende de sus últimos \(p\) valores
\[\begin{equation*}
y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \dots + \phi_p y_{t-p} + w_t
\end{equation*}\]
Es muy complicado analizar por sustitución recursiva la dinámica de una ecuación de orden \(p\).
Afortunadamente es muy simple expresarla como una ecuación vectorial en diferencia de orden 1, que se resuelve de manera similar a la ecuación escalar.
Solución de la ecuación de orden \(p\)
Para resolverla se definen:
\[\begin{align*}
\xi_t &\equiv \MAT{y_t\\y_{t-1}\\ \vdots \\ y_{t-p+1}}, & F&\equiv \MAT{\phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \dots & \phi_{p-1} & \phi_p \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0}, & v_t &\equiv \MAT{w_t\\ 0 \\ \vdots \\ 0}.
\end{align*}\]
con lo que la ecuación de orden \(p\) que puede escribirse:
\[\begin{equation*}
\xi_t = F\xi_{t-1} + v_t
\end{equation*}\]
y resolverse como:
\[\begin{equation*}
\xi_{t+j} = F^{j+1}\xi_{t-1} + F^{j}v_{t} + F^{j-1}v_{t+1} + \dots +F v_{t+j-1} + v_{t+j}
\end{equation*}\]
Ejemplo:
Resolviendo \(y_t = 0.9y_{t-1} - 0.2y_{t-2}+3\)
La ecuación puede escribirse como
\[\begin{equation*}
\notation{\MAT{y_{t}\\y_{t-1}}}{$\xi_t$} =
\notation{\MAT{0.9 & -0.2\\1 & 0}}{$F$}
\notation{\MAT{y_{t-1}\\y_{t-2}}}{$\xi_{t-1}$} +
\notation{\MAT{3\\0}}{$v$}
\end{equation*}\]
Por sustitución recursiva encontramos
\[\begin{align*}
\xi_t &= \left(I+F+F^2+\dots+F^{t-2}\right)v + F^{t-1}\xi_1\\
&=\left(I-F\right)^{-1}\left(I-F\right)\left(I+F+F^2+\dots+F^{t-2}\right)v + F^{t-1}\xi_1\\
&=\left(I-F\right)^{-1}\left(I-F^{t-1}\right)v + F^{t-1}\xi_1\\
\end{align*}\]
Necesitamos una expresión para \(F^{t-1}\). Para ello, buscamos la descomposición espectral de \(F\).
Encontramos los eigenvalores de \(F\):
\[\begin{equation*}
\left|\begin{matrix}
0.9-\lambda & -0.2\\ 1& -\lambda
\end{matrix}\right| = \lambda^2-0.9\lambda+0.2 =(\lambda-0.5)(\lambda-0.4)=0
\end{equation*}\]
es decir, \(\lambda_1=0.5, \lambda_2=0.4\).
Es fácil mostrar que los eigenvectores son \(\MAT{\lambda_1 \\ 1}\) y \(\MAT{\lambda_2 \\ 1}\).
Entonces
\[\begin{align*}
F &= \MAT{\lambda_1 & \lambda_2\\ 1 & 1}
\MAT{\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2}
\MAT{\lambda_1 & \lambda_2\\ 1 & 1}^{-1} \Rightarrow \\
F^{t-1} &= \MAT{\lambda_1 & \lambda_2\\ 1 & 1}
\MAT{\lambda_1^{t-1} & 0 \\ 0 & \lambda_2^{t-1}}
\MAT{\lambda_1 & \lambda_2\\ 1 & 1}^{-1} \Rightarrow \\
&= \tfrac{1}{\lambda_1-\lambda_2}\MAT{\lambda_1 & \lambda_2\\ 1 & 1}
\MAT{\lambda_1^{t-1} & 0 \\ 0 & \lambda_2^{t-1}}
\MAT{1 & -\lambda_2\\ -1 & \lambda_1} \\
&= \tfrac{1}{\lambda_1-\lambda_2}
\MAT{\lambda_1^{t} - \lambda_2^{t} & \quad-\lambda_1\lambda_2\left(\lambda_1^{t-1} - \lambda_2^{t-1}\right) \\
\lambda_1^{t-1} - \lambda_2^{t-1} & \quad-\lambda_1\lambda_2\left(\lambda_1^{t-2} - \lambda_2^{t-2}\right)}
\end{align*}\]
Recuerde que es fácil calcular la potencia de la matriz \(F\) a partir de su descomposición espectral.
Sustituyendo los valores de \(\lambda_1\) y \(\lambda_2\)
\[\begin{align*}
F^{t-1} &=
\MAT{10\left(0.5^{t} - 0.4^{t}\right) & \quad -2\left(0.5^{t-1} - 0.4^{t-1}\right) \\
10\left(0.5^{t-1} - 0.4^{t-1}\right) & \quad-2\left(0.5^{t-2} - 0.4^{t-2}\right)}
\end{align*}\]
Por otra parte:
\[\begin{equation*}
\left(I-F\right)^{-1} = \tfrac{10}{3}\mat{1& -0.2\\1 & \phantom{-}0.1} = \tfrac{1}{3}\mat{10& -2\\10 & \phantom{-}1}
\end{equation*}\]
Sustituyendo lo anterior en la ecuación vectorial:
\[\begin{multline*}
\mat{y_t\\y_{t-1}} = \tfrac{1}{3}
\mat{10 & -2\\ 10 & \phantom{-}1}
\mat{1-10\left(0.5^{t} - 0.4^{t}\right) & \quad 2\left(0.5^{t-1} - 0.4^{t-1}\right) \\
-10\left(0.5^{t-1} - 0.4^{t-1}\right) & \quad1-2\left(0.5^{t-2} - 0.4^{t-2}\right)}
\mat{3\\ 0} + \\
\mat{10\left(0.5^{t} - 0.4^{t}\right) & \quad -2\left(0.5^{t-1} - 0.4^{t-1}\right) \\
10\left(0.5^{t-1} - 0.4^{t-1}\right) & \quad-2\left(0.5^{t-2} - 0.4^{t-2}\right)}
\mat{y_1\\y_0} = \\
\mat{10 & -2\\ 10 & \phantom{-}1}
\mat{1-10\left(0.5^{t} - 0.4^{t}\right) \\ -10\left(0.5^{t-1} - 0.4^{t-1}\right) } +
\mat{10\left(0.5^{t} - 0.4^{t}\right) & \quad -2\left(0.5^{t-1} - 0.4^{t-1}\right) \\
10\left(0.5^{t-1} - 0.4^{t-1}\right) & \quad-2\left(0.5^{t-2} - 0.4^{t-2}\right)}
\mat{y_1\\y_0}
\end{multline*}\]
Tomando la primera fila
\[\begin{multline*}
y_t = 10 -100\left(0.5^{t} - 0.4^{t}\right) + 20\left(0.5^{t-1} - 0.4^{t-1}\right) + \\
10y_1\left(0.5^{t} - 0.4^{t}\right) - 2y_0\left(0.5^{t-1} - 0.4^{t-1}\right) \Rightarrow
\end{multline*}\]
\[\begin{align*}
y_t &= 10 + 10\left(y_1-10\right)\left(0.5^{t} - 0.4^{t}\right) - 2\left(y_0 - 10\right)\left(0.5^{t-1} - 0.4^{t-1}\right)\\
&= 10 + \left(10y_1-100\right)\left(0.5^{t} - 0.4^{t}\right) + \left(20 -2y_0\right)\left(2\times 0.5^{t} - 2.5\times 0.4^{t}\right)\\
&= 10 + \left(10y_1 - 4y_0 - 60\right)0.5^{t} - \left(10y_1-5y_0 -50\right)0.4^{t}
\end{align*}\]
Si imponemos las 2 condiciones iniciales: \(y_0=13, y_1=11.3\), la solución de la ecuación es:
\[\begin{equation*}
y_t = 10 + 0.5^{t} +2\times 0.4^{t}
\end{equation*}\]
Multiplicador dinámico: caso orden \(p\)
De nuevo el multiplicador dinámico se obtiene por derivación:
\[\begin{equation*}
\marginal{\xi_{t+j}}{v'_t} = F^j
\end{equation*}\]
El primer elemento de \(\xi_{t+j}\) es \(y_{t+j}\) y el primer elemento de \(v_t\) es \(w_t\), por lo tanto:
\[\begin{equation*}
\marginal{y_{t+j}}{w_t} = F^j_{(11)}
\end{equation*}\]
Ahora la estabilidad depende de \(F^j\).
Estabilidad
Que \(F^j\) tienda a 0 cuando \(j\) crece al infinito depende de los eigenvalores de \(F\).
Si todos son distintos, entonces \(F^j = T\Lambda^jT^{-1}\), donde:
\[\begin{equation*}
F^j = \MAT{t_{11} & t_{12} & \dots & t_{1p}\\ t_{21} & t_{22} & \dots & t_{2p}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ t_{p1} & t_{p2} & \dots & t_{pp}}
\MAT{\lambda_1^j & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2^j & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_p^j}
\MAT{t^{11} & t^{12} & \dots & t^{1p}\\ t^{21} & t^{22} & \dots & t^{2p}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ t^{p1} & t^{p2} & \dots & t^{pp}}
\end{equation*}\]
por tanto
\[\begin{align*}
\marginal{y_{t+j}}{w_t} = F^j_{(11)} &= \left(t_{11}t^{11}\right)\lambda_1^j + \left(t_{12}t^{21}\right)\lambda_2^j + \dots +\left(t_{1p}t^{p1}\right)\lambda_p^j \\
&= c_1\lambda_1^j + c_2\lambda_2^j +\dots + c_p\lambda_p^j
\end{align*}\]
Obteniendo los eigenvalores y los ponderadores
Los eigenvalores de \(F\) se obtienen de resolver:
Ecuación característica
\[\begin{equation*}
|F - \lambda I_p| = \lambda^p - \phi_1\lambda^{p-1} - \phi_2\lambda^{p-2} - \dots - \phi_{p-1}\lambda - \phi_p = 0
\end{equation*}\]
Mientras que \(c_i\) se obtiene de:
\[\begin{equation*}
c_i = \frac{\lambda_i^{p-1}}{\prod\limits_{\stackrel{k=1}{k\neq i}}^{p}(\lambda_i - \lambda_k)}
\end{equation*}\]
Nótese que:
\[\begin{equation*}
c_1 + c_2 +\dots + c_p = \left(t_{11}t^{11}\right) + \left(t_{12}t^{21}\right) + \dots +\left(t_{1p}t^{p1}\right) = 1
\end{equation*}\]
Dinámica de ajuste
Dado que
\[\begin{align*}
\marginal{y_{t+j}}{w_t} &= c_1\lambda_1^j + c_2\lambda_2^j +\dots + c_p\lambda_p^j\\
1 &= c_1 + c_2 +\dots + c_p
\end{align*}\]
el multiplicador dinámico es un promedio ponderado de las potencias de los eigenvalores.
La forma del ajuste dependerá del eigenvalor de mayor valor absoluto \(\lambda_{max}\)
Si \(0 < \lambda_{max} < 1\), el MD decae geométricamente.
Si \(-1< \lambda_{max} < 0\), el MD decae alternando
Si \(|\lambda_{max}| > 1\), la serie explota (no converge)
¿Cómo se da el ajuste si \(\lambda_{max}\) es complejo?
Se sabe que si \(\lambda_1 = a+bi\), entonces \(\lambda_2 = a - bi\)
Si expresamos \(\lambda_j\) en coordenadas polares:
\[\begin{align*}
\lambda_1 &= R[\cos\theta + i\sin\theta] = Re^{i\theta} \\
\lambda_2 &= R[\cos\theta - i\sin\theta] = Re^{-i\theta}
\end{align*}\]
Entonces la potencia de los eigenvalores es:
\[\begin{align*}
\lambda_1^j &= R^je^{ij\theta} = R^j[\cos j\theta + i\sin j\theta] \\
\lambda_2^j &= R^je^{-ij\theta} = R^j[\cos j\theta - i\sin j\theta]
\end{align*}\]
El promedio de estos dos eigenvalores es:
\[\begin{align*}
c_1\lambda_1^j + c_2\lambda_2^j & = c_1R^j[\cos j\theta + i\sin j\theta] + c_2R^j[\cos j\theta - i\sin j\theta] \\
&=R^j\left[ (c_1+c_2) \cos j\theta + i(c1-c_2) \sin j\theta\right]\\
\end{align*}\]
Pero \(c_1\) y \(c_2\) son conjugados: \(c_1, c_2 = \alpha \pm \beta i\)
\[\begin{align*}
c_1\lambda_1^j + c_2\lambda_2^j &=R^j\left[ 2\alpha \cos j\theta - 2\beta \sin j\theta\right]
\end{align*}\]
que en función de \(j\) es periódica, con frecuencia \(\theta\) y período \(\frac{2\pi}{\theta}\)
Ejemplo:
Dinámica de ajuste cuando \(p=2\)
Ejemplo 1. \(y_t=0.9y_{t-1} - 0.9y_{t-2} + \epsilon_t\):
Ejemplo 2. \(y_t=0.2y_{t-1} + 0.35y_{t-2} + \epsilon_t\):
Ejemplo 3. \(y_t=1.6y_{t-1} - 0.64y_{t-2} + \epsilon_t\):
Ejemplo 4. \(y_t=0.5y_{t-1} + 0.5y_{t-2} + \epsilon_t\):
Valor presente
Recordando que
\[\begin{equation*}
\marginal{\xi_{t+j}}{v'_t} = F^j
\end{equation*}\]
Se tiene que:
\[\begin{equation*}
\sum_{j=0}^{\infty}\beta^j\marginal{\xi_{t+j}}{v'_t} = \sum_{j=0}^{\infty}\beta^j F^j = \left(I_p - \beta F\right)^{-1}
\end{equation*}\]
En este caso su elemento 1,1 es
\[\begin{equation*}
\frac{1}{1-\phi_1\beta - \phi_2\beta^2 - \dots - \phi_p\beta^p}
\end{equation*}\]
Efecto acumulado y multiplicador de largo plazo
Se obtiene del VP en el caso particular en que \(\beta = 1\):
\[\begin{equation*}
\frac{1}{1-\phi_1 - \phi_2 - \dots - \phi_p}
\end{equation*}\]
