\[ \begin{align}\begin{aligned}\require{color} \newcommand{\alert}[1]{{\color{RedOrange} #1}} \newcommand{\notation}[2]{\underset{\color{MidnightBlue}\text{#2}}{#1}} \newcommand{\simbolo}[2]{\underset{\color{MidnightBlue}#2}{#1}} \newcommand{\notationbrace}[2]{{\underbrace{#1}_{\color{MidnightBlue}\text{#2}}}} \DeclareMathOperator{\dd}{\,d\!} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}{}} \DeclareMathOperator{\Var}{Var{}} \DeclareMathOperator{\Cov}{Cov{}} \DeclareMathOperator{\Lag}{L{}} \DeclareMathOperator*{\argmin}{argmin} \DeclareMathOperator*{\argmax}{argmax} \DeclareMathOperator{\Prob}{\mathbb{P}} \newcommand{\marginal}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\MAT}[1]{\begin{bmatrix} #1 \end{bmatrix}} \newcommand{\mat}[1]{\left[\begin{smallmatrix} #1 \end{smallmatrix}\right]}\\\begin{split}\DeclareMathOperator{\R}{\mathbb{R}} \DeclareMathOperator{\X}{\mathbf{x}} \DeclareMathOperator{\y}{\mathbf{y}} \DeclareMathOperator{\h}{\mathbf{h}} \newcommand{\stackEq}[1]{\MAT{#1_1 \\ #1_2 \\ \vdots \\ #1_M}} \newcommand{\e}{\mathbf{\epsilon}} \newcommand{\Y}{\mathbf{Y}} \newcommand{\estimator}[2]{{\hat{#1}^{\text{#2}}}} \newcommand{\estimate}[2]{\underset{(#2)}{#1}} \DeclareMathOperator{\plim}{plim} \newcommand{\PLIM}[2]{#1\xrightarrow{p} #2}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]
import numpy as np
import pandas as pd
pd.options.plotting.backend = "plotly"

from statsmodels.formula.api import ols
import pandas_datareader as pdr
import plotly.express as px

5.1. La prueba de Chow#

Determinando si hay un cambio estructural#

Recordemos que podemos expresar una regresión lineal como

\[\begin{align*} y_t &= \beta_{1}x_{t,1} + \dots + \beta_{k}x_{t,k} + \epsilon \\ &=\MAT{x_{t,1} & \dots & x_{t,k}}\MAT{\beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{k}} + \epsilon_{t} \\ &=x'_t\beta + \epsilon_{t} \end{align*}\]

Cuando apilamos todas \(T\) las observaciones

\[\begin{equation*} Y = \simbolo{\MAT{y_1 \\ \vdots \\ y_T}}{Y} = \MAT{x'_1\beta + \epsilon_{1} \\ \vdots \\ x'_T\beta + \epsilon_{T}} = \simbolo{\MAT{x'_1\\ \vdots \\ x'_T}}{X}\beta + \simbolo{\MAT{\epsilon_{1} \\ \vdots \\ \epsilon_{T}}}{\epsilon} = X\beta + \epsilon \end{equation*}\]

La regresión \(Y=X\beta+\epsilon\) asume que el vector de coeficientes \(\beta\) es el mismo para toda la muestra.

Supongamos que pensamos que durante el período conocido hubo un cambio estructural en la economía, por lo que el vector de parámetros fue \(\beta_0\) antes del cambio pero \(\beta_{1}\) después. Entonces:

\[\begin{align*} &\begin{cases} Y_1 = X_1\beta_1 + \epsilon_{1},& \text{ antes del cambio}\\ Y_2 = X_2\beta_2 + \epsilon_{2},& \text{ después}\\ \end{cases}\\ \MAT{Y_1\\ Y_2} &=\MAT{X_1 & 0 \\ 0 & X_2}\MAT{\beta_1\\ \beta_2} + \MAT{\epsilon_{1}\\ \epsilon_{2}} \end{align*}\]

Por lo que el estimador de mínimos cuadrados ordinarios

\[\begin{equation*} \widehat{\MAT{\beta_1\\ \beta_2}}= \MAT{X'_1X_1 & 0 \\ 0 & X'_2X_2}^{-1}\MAT{X'_1Y_1 \\ X_2Y_2} = \MAT{\hat\beta_1\\ \hat\beta_2} \end{equation*}\]

Esto nos dice que los parámetros \(\beta_{1}\) y \(\beta_2\) pueden estimarse por MCO separadamente.

Planteamos la hipótesis nula de que no hay cambio estructural: \(\beta_{1}=\beta_2\). Entonces

\[\begin{align*} &\begin{cases} Y_1 = X_1\beta + \epsilon_{1},& \text{ antes del cambio}\\ Y_2 = X_2\beta + \epsilon_{2},& \text{ todo sigue igual}\\ \end{cases}\\ \MAT{Y_1\\ Y_2} &=\MAT{X_1 \\ X_2}\beta + \MAT{\epsilon_{1}\\ \epsilon_{2}} \end{align*}\]

Esto corresponde a la regresión con todas las observaciones.

La hipótesis \(\beta_{1}=\beta_2\) puede comprobarse con un test de Wald.

La prueba de Chow#

Sea \(S\) la suma de los cuadrados de los residuos de la regresión restringida, y \(S_i\) la suma de los cuadrados de los residuos de la regresión de la muestra \(i\).

\TEST{Prueba de cambio estructural de Chow}{¿Son los coeficientes \(\beta_1\) y \(\beta_2\) distintos?}{\(\beta_{1} = \beta_2\)}{\(\frac{\frac{S - S_1 - S_2}{k}}{\frac{S_1+S_2}{T-2k}} \sim F(k, T-2k)\)}{Si el estadístico es grande (mayor que el valor crítico), los modelos son distintos, por lo que sí hay cambio estructural.}

Ejemplo:   Cambio en la demanda por combustible
El mercado del petróleo tuvo un cambio significativo en 1973:

#FIXME: ARREGLAR ESTO

oil = pdr.get_data_fred('WTISPLC', start=1946)   
fig = oil.plot()


fig.update_layout(
        title="Spot Crude Oil Price: West Texas Intermediate (WTI)",
        xaxis_title=" ",
        yaxis_title="dólares por barril",
        showlegend=False
    )

vrect_options = dict(
    annotation_position="top left",
    fillcolor="green",
    opacity=0.25,
    annotation_textangle=-90,
    line_width=0
)    

fig.add_vrect(x0="1973-10-01", x1="1974-03-30",
              annotation_text="embargo 1973", **vrect_options)    

fig.add_vrect(x0="1979-01-01", x1="1980-06-30",
              annotation_text="crisis petrolera 1979", **vrect_options)

fig.add_vrect(x0="2008-01-01", x1="2010-01-01",
              annotation_text="Crisis Financiera", **vrect_options)

Fuente de datos: https://fred.stlouisfed.org/series/WTISPLC

\textcite{Greene:2012} estima el modelo el consumo per capita de combustible \(G\)

\[\begin{equation*} G_t = \beta_1 + \beta_2 I_t + \beta_3 PG_t + \beta_4 PNC_t + \beta_5 PUC_t + \beta_6 t + \epsilon_{t} \end{equation*}\]

(todas las variables en logaritmo, excepto \(t\)) y comprueba si hay un cambio estructural en 1974.

greene_file = 'http://www.stern.nyu.edu/~wgreene/Text/Edition7/TableF2-2.csv'
gasdata = pd.read_csv(greene_file, parse_dates=True, index_col=0)

gasdata.eval('G = GASEXP/GASP', inplace=True)
gasdata.eval('GPC = 1e6*G/POP', inplace=True)
gasdata['t'] = np.exp(gasdata.index.year - 1952)

series = {
    'GASEXP'    : 'Total U.S. gasoline expenditure',
    'GASP'      : 'precio combustible',
    'INCOME'    : 'ingreso per capita',
    'PNC'       : 'precio carro nuevo',
    'PUC'       : 'precio carro nuevo',
    'POP'       : 'U.S. total population in thousands',
    'GPC'       : 'Consumo per capita',
    'Intercept' : 'intercepto',
    't'         : 'tendencia'
}

params = pd.DataFrame()
signif = pd.DataFrame()
stats = pd.DataFrame(index=['S', '$R^2$', 'T', 'k'])

samples = {'1953-2004': slice('1953','2004'),
           '1953-1973': slice('1953','1973'),
           '1974-2004': slice('1974','2004')}


for periodo, ss in samples.items():
    mm = ols('GPC ~ INCOME + GASP + PNC + PUC + t', np.log(gasdata)[ss]).fit()
    params[periodo] = mm.params
    signif[periodo] = ['✓' if p < 0.05 else '' for p in mm.pvalues]
    stats[periodo] = [mm.ssr, mm.rsquared, mm.nobs, mm.params.shape[0]]

params.rename(index=series)
signif.index = params.index

pd.concat([params.round(4), signif], keys=['coef ', 'p<0.05']).unstack(0)
1953-2004 1953-1973 1974-2004
coef p<0.05 coef p<0.05 coef p<0.05
Intercept -12.8632 ✓ -8.3492 ✓ -1.5128
INCOME 1.625 ✓ 0.8482 ✓ 0.3739 ✓
GASP -0.0539 -0.0323 -0.124 ✓
PNC -0.0834 0.6988 ✓ -0.0011
PUC -0.0847 -0.2905 ✓ -0.0217
t -0.0139 ✓ 0.0101 ✓ 0.0045 
stats
1953-2004 1953-1973 1974-2004
S 0.101997 0.002022 0.007128
$R^2$ 0.964932 0.997473 0.952890
T 52.000000 21.000000 31.000000
k 6.000000 6.000000 6.000000 
gasdata['PERIODO'] = ''
gasdata.loc['1953':'1973', 'PERIODO'] = '1953-1973'
gasdata.loc['1974':'2004', 'PERIODO'] = '1974-2004'
fig = px.scatter(gasdata, x="GPC", y="GASP", color="PERIODO", trendline="ols")
fig.update_layout(
        title="Cambio estructural, test de Chow",
        xaxis_title="Consumo per capita",
        yaxis_title="ndice de precio"
    )
\[\begin{equation*} \frac{\frac{0.1020 - 0.0020 - 0.0071}{6}}{\frac{0.0020 + 0.0071}{52 - 2\times 6}} = 67.65 > 2.34 = F(6, 40) \end{equation*}\]

La prueba de Chow confirma que hay un cambio estructural en 1974: los parámetros de 1953-1973 son significativamente distintos a los de 1974-2004.

Limitaciones de la prueba de Chow#

La prueba de Chow tiene algunas limitaciones importantes

  • Asume que el analista sabe la fecha en que ocurre el cambio estructural

  • Asume que la varianza de los errores es la misma antes y después del cambio estructural.