Álgebra lineal
\[ \begin{align}\begin{aligned}\require{color}
\newcommand{\alert}[1]{{\color{RedOrange} #1}}
\newcommand{\notation}[2]{\underset{\color{MidnightBlue}\text{#2}}{#1}}
\newcommand{\simbolo}[2]{\underset{\color{MidnightBlue}#2}{#1}}
\newcommand{\notationbrace}[2]{{\underbrace{#1}_{\color{MidnightBlue}\text{#2}}}}
\DeclareMathOperator{\dd}{\,d\!}
\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}{}}
\DeclareMathOperator{\Var}{Var{}}
\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov{}}
\DeclareMathOperator{\Lag}{L{}}
\DeclareMathOperator*{\argmin}{argmin}
\DeclareMathOperator*{\argmax}{argmax}
\DeclareMathOperator{\Prob}{\mathbb{P}}
\newcommand{\marginal}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\MAT}[1]{\begin{bmatrix} #1 \end{bmatrix}}
\newcommand{\mat}[1]{\left[\begin{smallmatrix} #1 \end{smallmatrix}\right]}\\\begin{split}\DeclareMathOperator{\R}{\mathbb{R}}
\DeclareMathOperator{\X}{\mathbf{x}}
\DeclareMathOperator{\y}{\mathbf{y}}
\DeclareMathOperator{\h}{\mathbf{h}}
\newcommand{\stackEq}[1]{\MAT{#1_1 \\ #1_2 \\ \vdots \\ #1_M}}
\newcommand{\e}{\mathbf{\epsilon}}
\newcommand{\Y}{\mathbf{Y}}
\newcommand{\estimator}[2]{{\hat{#1}^{\text{#2}}}}
\newcommand{\estimate}[2]{\underset{(#2)}{#1}}
\DeclareMathOperator{\plim}{plim}
\newcommand{\PLIM}[2]{#1\xrightarrow{p} #2}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]
Descomposición espectral de una matriz
Si los eigenvectores de la matriz cuadrada \begin{math}A \end{math} son linealmente independientes, entonces
\[\begin{equation*}
A = C\Lambda C^{-1}
\end{equation*}\]
donde \begin{math}\Lambda \end{math} es la matriz diagonal formada por los eigenvalores de \begin{math}A \end{math}:
\[\begin{equation*}
\Lambda = \MAT{\lambda_1 & 0 & \dots & 0\\ 0 &\lambda_2 & \dots & 0\\ & & \ddots & \\ 0 & 0 & \dots &\lambda_n}
\end{equation*}\]
y las columnas de \begin{math}C \end{math} son los correspondientes eigenvectores de \begin{math}A \end{math}.
Potencia de una matriz
Si \begin{math}A \end{math} tiene la descomposición espectral \begin{math}A = C\Lambda C^{-1} \end{math} es fácil calcular su \begin{math}t \end{math}-ésima potencia:
\[\begin{equation*}
A^t = C\Lambda^t C^{-1}
\end{equation*}\]
ya que
\[\begin{equation*}
\Lambda^t = \MAT{\lambda^t_1 & 0 & \dots & 0\\ 0 &\lambda^t_2 & \dots & 0\\ & & \ddots & \\ 0 & 0 & \dots &\lambda^t_n}
\end{equation*}\]
El producto Kronecker
Si \begin{math}A=\MAT{a & b \ c & d} \end{math} y \begin{math}B \end{math} son matrices, el producto Kronecker se define por
\[\begin{equation*}
A \otimes B = \MAT{aB & bB \\ cB & dB}
\end{equation*}\]
Algunas propiedades importantes:
\[\begin{align*}
(A \otimes B)' &= A' \otimes B' \\
(A \otimes B)^{-1} &= A^{-1} \otimes B^{-1} \\
(A \otimes B)(C \otimes D) &= (AC) \otimes (BD)
\end{align*}\]
El rango de una matriz
El rango de una matriz \begin{math}A \end{math} de tamaño \begin{math}M \times N \end{math} se denota por \begin{math}\text{rango}[A] \end{math} y se define como el número de filas (o columnas) que son linealmente independientes.
Necesariamente, se cumple que
\[\begin{equation*}
\text{rango}[A] \leq \min\left\{M,N\right\}
\end{equation*}\]
Si \begin{math}\text{rango}[A] = M \end{math}, decimos que \begin{math}A \end{math} tiene rango fila completo.
Si \begin{math}\text{rango}[A] = N \end{math}, decimos que \begin{math}A \end{math} tiene rango columna completo.
