5.3. Cambio estructural y raíces unitarias: fecha desconocida#

¿Cómo saber cuándo se produjo un cambio estructural?#

Un supuesto importante en la prueba de \textcite{Perron1989} es que el analista conoce la fecha en que se produjo el (único) cambio estructural. No obstante, esto no siempre es factible.

\textcite{Zivot1992} proponen una prueba de raíz unitaria similar a la de Perron, pero que asume que el momento del cambio estructural es desconocido.

Las pruebas de cambio estructural de Zivot y Andrews#

Las pruebas de cambio estructural de Zivot y Andrews

¿Hay raíces unitarias en presencia de un cambio estructural en $t=\tau$?

\[\begin{align*} y_t &= \mu + y_{t-1} + \epsilon_{t} \tag{nula}\\ y_t &= \notationbrace{\alpha_0 + \mu_2 D_t^L}{intercepto} + \alpha_2 t + \epsilon_{t} \tag{alternativa A}\\ y_t &= \alpha_0 + \notationbrace{\alpha_2 t + \mu_3 D^T_t}{tendencia} + \epsilon_{t} \tag{alternativa B} \\ y_t &= \notationbrace{\alpha_0 + \mu_2 D_t^L}{intercepto} + \notationbrace{\alpha_2 t + \mu_3 D^T_t}{tendencia} + \epsilon_{t} \tag{alternativa C} \end{align*}\]

Para implementar la prueba de Zivot y Andrews se siguen estos pasos:

Paso 1: Se estima la regresión correspondiente al modelo

\[\begin{align*} \textcolor{Chartreuse4}{A: } y_t &= \alpha_0 + \alert{\alpha_1 y_{t-1}} + \alpha_2 t &+& \mu_2 D_t^L \phantom{+ \mu_3 D^T_t} &+& \sum_{i=1}^{p}\beta_i\Delta y_{t-1} + \epsilon_{t} \\ \textcolor{Chartreuse4}{B: } y_t &= \alpha_0 + \alert{\alpha_1 y_{t-1}} + \alpha_2 t &+& \phantom{\mu_2 D_t^L +} \mu_3 D^T_t &+& \sum_{i=1}^{p}\beta_i\Delta y_{t-1} + \epsilon_{t} \\ \textcolor{Chartreuse4}{C: } y_t &= \alpha_0 + \alert{\alpha_1 y_{t-1}} + \alpha_2 t &+& \mu_2 D_t^L + \mu_3 D^T_t &+& \sum_{i=1}^{p}\beta_i\Delta y_{t-1} + \epsilon_{t} \end{align*}\]

donde los términos $D_t^L$ y $D_t^T$ dependen de la proporción de datos $\lambda$ anteriores al cambio estructural:

\[\begin{align*} D_t^L(\lambda) &= I(t>\lambda T) & D_t^T &=\max(t-\lambda T, 0) \end{align*}\]

Paso 2: Se calcula el estadístico $t$ de la hipótesis $a_1=1$:

\[\begin{equation*} t_{\alpha_1} = \frac{\hat{\alpha_1}-1}{s.e.(\alpha_1)} \end{equation*}\]

Observemos que el valor estimado $\hat{\alpha}$ dependerá de $\lambda$; por ello, escribimos $t_{\alpha_1}(\lambda)$

Paso 3: Se define el punte de quiebre $\hat{\lambda}$ como aquel valor $\lambda$ que hace más plausible la hipótesis alternativa

\[\begin{equation*} \hat{\lambda} \equiv \argmin{\lambda\in(0, 1)}\left\{ t_{\alpha_1}(\lambda) \right\} \end{equation*}\]

Se compara el valor mínimo $t_{\alpha_1}(\hat\lambda)$ con el valor crítico de Zivot y Andrews. Si el estadístico estimado es menor que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula.

Valores críticos de Zivot y Andrews

Modelo	1%	5%	10%
A	-5.34	-4.80	-4.58
B	-4.93	-4.42	-4.11
C	-5.57	-5.08	-4.82

Fuente: \textcite{Zivot1992}

Ejemplo: Pruebas de cambio estructural

\textcite{Zivot1992} también analizan los datos de Nelson y Plosser. Al estimar el modelo A encuentran

\input{labs/zivot-andrews-nelson-plosser.tex}

Recordemos los valores críticos del modelo A Valores críticos de Zivot y Andrews

Modelo	1%	5%	10%
A	-5.34	-4.80	-4.58

A continuación vemos cómo replicar los resultados del modelo A de Zivot y Andrews, escribiendo un programa de Python.

\[\begin{equation*} y_t = \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1} + \alpha_2 t + \mu_2 D_t^L + \sum_{i=1}^{p}\beta_i\Delta y_{t-1} + \epsilon_{t} \end{equation*}\]

NP = pd.read_stata('https://github.com/randall-romero/econometria/raw/master/data/NelsonPlosserData.dta', index_col='year')
NP.index = NP.index.year

def ZivotAndrewsA(serie, k=8):
    dta = NP[[serie]].dropna()
    dta.rename(columns={serie:'y'}, inplace=True)
    dta['t'] = np.arange(dta.shape[0])
    dta['Ly'] = dta['y'].shift(1)
    dta['Dy'] = dta['y'].diff(1)
    for j in range(1, k+1):
        dta[f'D{j}y'] = dta['Dy'].shift(j)    

    lags = '+'.join(dta.columns[-k:])

    alpha1values = pd.Series(0.0, index=dta.index[12:-12])

    for tau in alpha1values.index:
        dta['DL'] = (dta.index>tau).astype(int)
        modelo = ols('y ~ Ly + t + DL + ' + lags, dta).fit()
        alpha1values[tau] = ((modelo.params - 1)/modelo.bse)['Ly']

    tauhat, tval = alpha1values.idxmin(), alpha1values.min()
    dta['DL'] = (dta.index>tauhat).astype(int)
    modelo = ols('y ~ Ly + t + DL + ' + lags, dta).fit()

    return {r'$\hat{T}_B$':tauhat, r'$\alpha_1$': np.round(modelo.params['Ly'],3), r'$t$': np.round(tval,2)}



seriesA = ['lrgnp', 'lgnp', 'lpcrgnp', 'lip', 'lemp', 'lprgnp', 'lcpi', 'lwg', 'lm']
lags = [8,8,7,8,7,5,2,7,6]
variables = {'lrgnp':'Real GNP',
           'lgnp':'Nominal GNP',
           'lpcrgnp':'Real per capita GNP',
           'lip':'Industrial production',
           'lemp':'Employment',
           'lun':'Unemployment rate',
           'lprgnp':'GNP deflator',
           'lcpi':'Consumer prices',
           'lwg':'Wages',
           'lrwg':'Real wages',
           'lm':'Money stock',
           'lvel':'Velocity',
           'bnd':'Bond yield',
           'lsp500':'Common stock prices'}


temp = pd.DataFrame([ZivotAndrewsA(ser, k) for ser, k in zip(seriesA, lags)], index=seriesA)
temp.rename(index=variables)

	$\hat{T}_B$	$\alpha_1$	$t$
Real GNP	1929	0.267	-5.58
Nominal GNP	1929	0.532	-5.82
Real per capita GNP	1929	0.494	-4.61
Industrial production	1929	0.290	-5.95
Employment	1929	0.651	-4.95
GNP deflator	1929	0.786	-4.12
Consumer prices	1873	0.941	-2.76
Wages	1929	0.660	-5.30
Money stock	1929	0.823	-4.34

Apuntes de Macroeconometría

Cambio estructural y raíces unitarias: fecha desconocida

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¿Cómo saber cuándo se produjo un cambio estructural?#

Las pruebas de cambio estructural de Zivot y Andrews#