\[ \begin{align}\begin{aligned}\require{color} \newcommand{\alert}[1]{{\color{RedOrange} #1}} \newcommand{\notation}[2]{\underset{\color{MidnightBlue}\text{#2}}{#1}} \newcommand{\simbolo}[2]{\underset{\color{MidnightBlue}#2}{#1}} \newcommand{\notationbrace}[2]{{\underbrace{#1}_{\color{MidnightBlue}\text{#2}}}} \DeclareMathOperator{\dd}{\,d\!} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}{}} \DeclareMathOperator{\Var}{Var{}} \DeclareMathOperator{\Cov}{Cov{}} \DeclareMathOperator{\Lag}{L{}} \DeclareMathOperator*{\argmin}{argmin} \DeclareMathOperator*{\argmax}{argmax} \DeclareMathOperator{\Prob}{\mathbb{P}} \newcommand{\marginal}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\MAT}[1]{\begin{bmatrix} #1 \end{bmatrix}} \newcommand{\mat}[1]{\left[\begin{smallmatrix} #1 \end{smallmatrix}\right]}\\\begin{split}\DeclareMathOperator{\R}{\mathbb{R}} \DeclareMathOperator{\X}{\mathbf{x}} \DeclareMathOperator{\y}{\mathbf{y}} \DeclareMathOperator{\h}{\mathbf{h}} \newcommand{\stackEq}[1]{\MAT{#1_1 \\ #1_2 \\ \vdots \\ #1_M}} \newcommand{\e}{\mathbf{\epsilon}} \newcommand{\Y}{\mathbf{Y}} \newcommand{\estimator}[2]{{\hat{#1}^{\text{#2}}}} \newcommand{\estimate}[2]{\underset{(#2)}{#1}} \DeclareMathOperator{\plim}{plim} \newcommand{\PLIM}[2]{#1\xrightarrow{p} #2}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]
import pandas as pd

1.3. El operador de rezagos#

Definición de operador de series de tiempo#

Un operador de serie de tiempo es un “proceso” que transforma una o más series de tiempo en nuevas series de tiempo.

Ejemplos:

  • Multiplicación escalar: \(y_t = \beta x_t\)

  • Suma: \(y_t = x_t + w_t\)

  • Identidad: \(y_t = 1y_t\)

Nótese que:

\[\begin{equation*} y_t = \beta(x_t + w_t) = \beta x_t + \beta w_t \end{equation*}\]

Operador de rezago#

El operador de rezago se denota por \(\Lag\) y se define como:

\[\begin{equation*} \Lag x_t \equiv x_{t-1} \end{equation*}\]

En general, se tiene que:

\[\begin{equation*} \Lag^k x_t = x_{t-k} \end{equation*}\]

Ejemplo:   Operador de rezagos y transformación de series
Algunas de las transformaciones de la serie \(y_t\) de la sección anterior pueden expresarse con el operador de rezagos:

Serie original

\(y_t\)

Primera diferencia

\(\Delta y_t \equiv y_t - y_{t-1} = y_t - \Lag y_t = (1-\Lag)y_t\)

Tasa de crecimiento

\(\Delta\% y_t \approx 100\left(\ln y_t - \ln y_{t-1}\right) = 100 (1-\Lag)\ln y_t\)

Diferencia interanual

\(\Delta_4 y_t \equiv y_t - y_{t-4} = y_t - \Lag^4 y_t = (1-\Lag^4)y_t\)

Tasa de crecimiento interanual

\(\Delta_4\% y_t \approx 100\left(\ln y_t - \ln y_{t-4}\right) = 100 (1-\Lag^4)\ln y_t\)

Suavizada por media móvil

\(y^s_t \equiv \tfrac{1}{4}\left(y_t + y_{t-1} + y_{t-2} + y_{t-3}\right) = \tfrac{1}{4}\left(1 + \Lag + \Lag^2 + \Lag^3\right)y_t\)

Ejemplo:   Operador de rezagos
El archivo data/LandD.csv tiene los siguientes datos ficticios

datos = pd.read_csv('https://github.com/randall-romero/econometria/raw/master/data/LandD.csv', index_col=0, parse_dates=True)
y = datos['y']
datos
y
trimestre
2018-01-01 10
2018-04-01 13
2018-07-01 10
2018-10-01 8
2019-01-01 15
2019-04-01 16
2019-07-01 14
2019-10-01 11

Otras implementaciones

  • R

Para calcular sus rezagos, diferencias, y diferencias estacionales con Python:

datos['L_y'] = y.shift(1)        # primer rezago
datos['L2_y'] = y.shift(2)       # segundo rezago
datos['D_y'] = y.diff()          # primera diferencia
datos['D2_y'] = y.diff().diff()  # segunda diferencia
datos['S_y'] = y.diff(4)         # diferencia estacional
datos
y L_y L2_y D_y D2_y S_y
trimestre
2018-01-01 10 NaN NaN NaN NaN NaN
2018-04-01 13 10.0 NaN 3.0 NaN NaN
2018-07-01 10 13.0 10.0 -3.0 -6.0 NaN
2018-10-01 8 10.0 13.0 -2.0 1.0 NaN
2019-01-01 15 8.0 10.0 7.0 9.0 5.0
2019-04-01 16 15.0 8.0 1.0 -6.0 3.0
2019-07-01 14 16.0 15.0 -2.0 -3.0 4.0
2019-10-01 11 14.0 16.0 -3.0 -1.0 3.0

Propiedades del operador de rezago#

Sean \(x_t, w_t\) dos series de tiempo. Entonces:

  • \(\Lag(\beta x_t) = \beta\Lag x_t\)

  • \(\Lag(x_t + w_t) = \Lag x_t + \Lag w_t\)

  • \(\Lag(c) = c\)

  • \(\Lag^{-h} x_t = x_{t+h}\)

  • \(\Lag^{0} x_t = x_t\)

  • \((\alpha \Lag^{h} + \beta\Lag^k) x_t = \alpha x_{t-h} + \beta x_{t-k}\)

donde \(\alpha, \beta, c\) son constantes.

El operador tiene propiedades conmutativa, asociativa y distributiva.

Polinomio de rezagos#

El operador de rezagos sigue las reglas usuales de operaciones algebraicas. Por ejemplo:

\[\begin{align*} (a + b \Lag)(c + d \Lag)x_t &= (a + b \Lag)(c x_t + d x_{t-1}) \\ &= a c x_t + a d x_{t-1} + bc x_{t-1} + bd x_{t-2} \\ &= \left[ac + (ad+bc)\Lag + bd \Lag^2\right]x_t \end{align*}\]

Así, definimos un polinomio de rezagos de orden \(p\):

\[\begin{equation*} \left(1 + \phi_1 \Lag + \phi_2 \Lag^2 + \dots + \phi_p \Lag^p\right)x_t = x_{t} + \phi_1 x_{t-1} + \phi_2 x_{t-2} + \dots + \phi_p x_{t-p} \end{equation*}\]

Inverso de un polinomio de rezagos de grado 1#

Considere la operación

\[\begin{align*} (1 - \phi \Lag)\left(1 + \phi \Lag +\dots + \phi^k \Lag^k\right)x_t &= \left(1 - \phi^{k+1} \Lag^{k+1}\right)x_t\\ &= x_t - \phi^{k+1}x_{t-k-1} \end{align*}\]

Si \(|\phi| < 1\),

\[\begin{equation*} \lim\limits_{k\to\infty} \phi^{k+1}x_{t-k-1} = 0 \end{equation*}\]

con lo que

\[\begin{equation*} (1 - \phi \Lag)\left(1 + \phi \Lag + \phi^2 \Lag^2 + \dots\right)x_t = x_t \end{equation*}\]

En este caso, escribimos

\[\begin{equation*} (1 - \phi \Lag)^{-1} = 1 + \phi \Lag + \phi^2 \Lag^2 + \dots \end{equation*}\]

Inverso de un polinomio de rezagos de grado \(p\)#

Consideremos el polinomio

\[\begin{equation*} \Phi(L) \equiv 1 - \phi_1 \Lag - \dots - \phi_p \Lag^p \end{equation*}\]

Si factorizamos el polinomio como

\[\begin{equation*} \Phi(L) = (1-\lambda_1\Lag)(1-\lambda_2\Lag)\cdots(1-\lambda_p\Lag) \end{equation*}\]

Encontramos su inverso como

\[\begin{align*} \Phi^{-1}(L) &= (1-\lambda_1\Lag)^{-1}\cdots(1-\lambda_p\Lag)^{-1} \\ &=\left(1 + \lambda_1 \Lag + \lambda_1^2 \Lag^2 + \dots\right)\cdots\left(1 + \lambda_p \Lag + \lambda_p^2 \Lag^2 + \dots\right) \end{align*}\]