2.3. Solución por combinación de soluciones homogéneas y particulares#

La estrategia de solución#

Para resolver la ecuación lineal en diferencia

\[\begin{equation*} y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \dots + \phi_p y_{t-p} + w_t \end{equation*}\]

seguimos estos pasos

Paso 1: Formamos la ecuación homogénea $y_t - \phi_1 y_{t-1} - \phi_2 y_{t-2} - \dots - \phi_p y_{t-p} = 0$ y encontramos sus $p$ soluciones;
Paso 2: Encontramos una solución particular;
Paso 3: Obtenemos la solución general como la suma de la solución particular y una combinación lineal de todas las soluciones homogéneas;
Paso 4: Eliminamos las constantes arbitrarias imponiendo $p$ condiciones iniciales en el problema.

Ecuación homogénea de primer orden#

Para la ecuación

\[\begin{equation*} y_t = \phi y_{t-1}\quad\Rightarrow y_t - \phi y_{t-1} = 0 \end{equation*}\]

Solución trivial: $y_t = y_{t-1} = \dots = 0$, pero no es única.

La expresión $y^h_t = \phi^t$ también es una solución:

\[\begin{equation*} \notation{\phi^t}{$y^h_t$} - \phi \notation{\left(\phi^{t-1}\right)}{$y^h_{t-1}$} = 0 \end{equation*}\]

Pero si $y^h_t$ es una solución, entonces $Ay^h_t$ también lo es, para cualquier escalar $A$:

\[\begin{equation*} Ay^h_t - \phi\left(Ay^h_{t-1}\right) = A\left(y^h_t - \phi y^h_{t-1}\right) = 0 \end{equation*}\]

Condición inicial para la ecuación homogénea de primer orden#

Hemos obtenido que $y_t = A\phi^t$ resuelve $y_t - \phi y_{t-1} = 0$ Para determinar una valor específico de $A$, necesitamos una condición inicial.

Por ejemplo, supongamos que el valor de $y_t$ en $t=0$ es conocido. Entonces:

\[\begin{equation*} y_0 = A\phi^0 \quad\Rightarrow A = y_0 \end{equation*}\]

Por lo que en ese caso la solución de la ecuación sería

\[\begin{equation*} y_t = \phi^t y_0 \end{equation*}\]

Ecuación homogénea de orden $p$#

Para la ecuación

\[\begin{equation*} y_t - \phi_1 y_{t-1} - \phi_2 y_{t-2} - \dots - \phi_{p-1} y_{t-p+1} - \phi_p y_{t-p} = 0 \end{equation*}\]

Solución trivial es de nuevo: $y_t = y_{t-1} = \dots = 0$.

Supongamos que la expresión $y^h_t = z^t$ también es una solución. Sustituyendo en la ecuación:

\[\begin{align*} z^t - \phi_1 z^{t-1} - \phi_2 z^{t-2} - \dots - \phi_{p-1} z^{t-p+1} - \phi_p z^{t-p} &= 0 \\ z^{t-p}\left[z^{p} - \phi_1 z^{p-1} - \phi_2 z^{p-2} - \dots - \phi_{p-1} z^{1} - \phi_p z^{0}\right] &= 0 \end{align*}\]

Hemos logrado cambiar el problema original por el de encontrar los ceros de un polinomio de grado $p$:

\[\begin{equation*} z^{p} - \phi_1 z^{p-1} - \phi_2 z^{p-2} - \dots - \phi_{p-1} z - \phi_p = 0 \end{equation*}\]

Esta es la misma ecuación característica que encontramos en la sección anterior.

Resolviendo la ecuación característica#

Todo polinomio de grado $p$ tiene exactamente $p$ raíces, no necesariamente distintas o reales.

Supongamos que $z_1, z_2, \dots, z_p$ son las raíces del polinomio. Las soluciones homogéneas son entonces

\[\begin{equation*} y^h_t \in \left\{z^t_1, z^t_2, \dots, z^t_p \right\} \end{equation*}\]

Cualquier combinación lineal de estas soluciones $y^h_t = A_1z^t_1 + \dots + A_pz^t_p$ también es una solución:

\[\begin{multline*} y_t - \phi_1 y_{t-1} - \dots - \phi_p y_{t-p} = \left(A_1z^t_1 + \dots + A_pz^t_p\right) - \\ \phi_1\left(A_1z^{t-1}_1 + \dots + A_pz^{t-1}_p\right) - \dots - \phi_p \left(A_1z^{t-p}_1 + \dots + A_1z^{t-p}_p\right) = \\ A_1\left(z^t_1- \phi_1z^{t-1}_1 - \dots - \phi_p z^{t-p}_1 \right) +\dots + A_p\left(z^t_p- \phi_1z^{t-1}_p - \dots - \phi_p z^{t-p}_p \right) = \\ A_1z_1^{t-p}\left(z^p_1- \phi_1z^{p-1}_1 - \dots - \phi_p\right) +\dots + A_pz_p^{t-p}\left(z^p_p- \phi_1z^{p-1}_p - \dots - \phi_p\right) = 0 \end{multline*}\]

Ejemplo: Resolviendo una ecuación por combinación

\[\begin{equation*} y_t = 0.9y_{t-1} - 0.2y_{t-2}+3 \end{equation*}\]

Paso 1: Resolvemos la ecuación homogénea $y_t - 0.9y_{t-1} + 0.2y_{t-2} = 0$:

\[\begin{align*} z^2 - 0.9z + 0.2 &= (z-0.4)(z-0.5) = 0\\ z\in\left\{0.4,0.5\right\} \quad&\Rightarrow\quad y_{1,t}^h = 0.4^t,\; y_{2,t}^h = 0.5^t \end{align*}\]

Es fácil verificar que son las soluciones:

\[\begin{align*} 0.4^t - 0.9\left(0.4\right)^{t-1} + 0.2\left(0.4\right)^{t-2} &= \left(0.4\right)^{t-2}\left[(0.4)^2 - 0.9(0.4) + 0.2\right] = 0\\ 0.5^t - 0.9\left(0.5\right)^{t-1} + 0.2\left(0.5\right)^{t-2} &= \left(0.5\right)^{t-2}\left[(0.5)^2 - 0.9(0.5) + 0.2\right] = 0 \end{align*}\]

Paso 2: Supongamos que $y^p_t=c$, una constante, es una solución particular:

\[\begin{equation*} c = 0.9c - 0.2c + 3 \quad\Rightarrow c= 10 \quad\Rightarrow y^p_t=10 \end{equation*}\]

Paso 3: Obtenemos la solución general como la suma de la solución particular y una combinación lineal de todas las soluciones homogéneas:

\[\begin{equation*} y_t = A_1(0.4)^t + A_2(0.5)^t + 10 \end{equation*}\]

Paso 4: Eliminamos $A_1, A_2$ imponiendo 2 condiciones iniciales: $y_0=13, y_1=11.3$.

\[\begin{equation*} \begin{cases} 13 &=A_1+ A_2 +10 \\ 11.3 &=0.4A_1 + 0.5A_2 +10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} A_1+ A_2 &= 3 \\ 0.4A_1 + 0.5A_2 &=1.3 \end{cases} \end{equation*}\]

entonces $A_1 = 2, A_2 = 1$ y la solución general de la ecuación es:

\[\begin{equation*} y_t = 2(0.4)^t + (0.5)^t + 10 \end{equation*}\]

Ejemplo: Resolviendo la ecuación con sympy

Podemos también resolver este problema utilizando el paquete sympy de Python:

from sympy import Function, rsolve
from sympy.abc import t

y = Function('y')
rsolve(y(t) - 0.9*y(t-1) + 0.2*y(t-2) - 3, y(t), {y(0):13, y(1): 11.3})

\[\displaystyle 2.0 \cdot 0.4^{t} + 1.0 \cdot 0.5^{t} + 10.0\]

Apuntes de Macroeconometría

Solución por combinación de soluciones homogéneas y particulares

Contents

2.3. Solución por combinación de soluciones homogéneas y particulares#

La estrategia de solución#

Ecuación homogénea de primer orden#

Condición inicial para la ecuación homogénea de primer orden#

Ecuación homogénea de orden \(p\)#

Resolviendo la ecuación característica#